分数量子Hall效应(FQHE)

分数量子Hall效应

1982年, 在\(\nu\)为非整数的地方观测到了Hall电阻的平台. 前几个平台分别是\(\nu=1/3,2/3\), 随后又观测到了\(\nu=1/5,2/5,3/7,\cdots\).

分数量子Hall效应的产生与电子间相互作用有着密切的联系. 我们首先考虑\(\nu<1\)的情况, 即第一个Landau能级还没有被完全填满. 此时, 有\(\nu\mathcal{N}\)个电子需要填入\(\mathcal{N}\)个态的第一Landau能级, 利用\(n!\sim (n/e)^n\), 可以估算大约有: \[ \left(\frac{1}{\nu} \right)^{\nu \mathcal{N}}\left(\frac{1}{1-\nu} \right)^{(1-\nu)\mathcal{N}} \] 种填法, 这是一个很大的数, 可以看到基态的简并度是巨大的. 因此, 如果引入相互作用: \[ V=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j |}, \] 利用微扰理论计算将会需要处理一个庞大的矩阵, 这无论在解析还是数值上都很困难.

但是, 我们从实验出发. 库伦相互作用将会使原有的Landau能级有一个\(E_{\text{Coulomb}}\)量级的展宽, 而如果能谱的精细结构在\(\nu\)处有一个间隙, 那么具有一定鲁棒性的态就会是\(\nu\mathcal{N}\)个电子填充Landau能级, 可以很好的解释分数量子Hall效应. 并且从定性上看, 当这个gap越大, 这一Hall态的鲁棒性就越强, 平台就越大. 而平台的解释就相对比较容易, 我们只需要重复整数量子Hall效应的论述就可以了.

我们需要关注以下的数量级关系: \[ \hbar \omega_B\gg E_{\text{Coulomb}}\gg V_{\text{disorder}}. \] 接下来的任务就是通过不同理解相互作用的图像, 来得到能谱并在分数处给出gap.

Laughlin态

Laughlin在1983年的工作解释了 \[ \nu=\frac{1}{m},\quad m=\text{odd}. \] 的分数量子Hall效应. Laughlin直接猜出了多体波函数.

当然这一猜测并不是毫无依据的. 我们先考虑两体问题. 对称规范下的基态Landau能级波函数为: \[ \psi_m\sim z^m e^{-|z|^2/4l_B^2 }. \] 其中, \(z=x+iy\). \(m\)标记的是磁量子数, 容易验证: \[ J\psi_m=m\hbar \psi_m,\quad J=\hbar (z\partial-\bar{z}\bar{\partial}). \] 其中\(\partial =1/2(\partial_x+i\partial_y)\). 而对于二体问题, 由于相互作用能较小, 忽略Landau能级之间的跃迁, 这样微扰后二体波函数仍然在基态的子空间中: \[ \psi \sim f(z_1,z_2)e^{-(|z_1|^2+|z_2|^2)/4l_B^2}. \] 而对于一般的多体系统, 波函数可以写成: \[ \psi=f(z_1,\cdots,z_N)e^{-\sum|z_i|^2/4l_B^2}, \] 而Laughlin直接猜测\(\nu=1/m\)填充态的\(f\)的形式为: \[ f=\prod_{i<j}(z_i-z_j)^m \] 其中, 为了使得波函数满足全反对称性, \(m\)必须是奇数. 当\(z_i\to z_j\)时前面的因子会趋向\(0\), 体现了电子的排斥作用; 而当\(z_i\)有较大模长时波函数指数趋向\(0\). 而我们考虑某一个电子, 例如说\(z_1\), 它的最高指数为\(m\sum_{i=2}^N=m(N-1)\sim mN\), 对应的最概然半径为 \[ R\approx \sqrt{2mN}l_B \] 第一个Landau能级的简并度为: \[ \mathcal{N}=\frac{eAB}{2\pi \hbar}=\frac{2\pi mNl_B^2e}{2\pi\hbar }\approx mN, \] 正好对应\(\nu=1/m\)的填充态. 数值上可以验证, 这一波函数和真实的基态波函数高度重合. 我们对\(m=1\)的情况做一个验证, 此时系统就是整数量子Hall效应的态. 我们忽略电子相互作用, 这样多体波函数可以写为: \[ \psi\sim \begin{vmatrix}\psi_1(x_1)& \psi_1(x_2)&\cdots& \psi_{1}(x_N)\\ \psi_2(x_1)& \psi_2(x_2)&\cdots& \psi_{2}(x_N)\\ \vdots& \vdots&\vdots&\vdots\\ \psi_N(x_1)& \psi_N(x_2)&\cdots& \psi_{N}(x_N) \end{vmatrix} , \] 对于基态的Landau能级, 以角动量标记的各个波函数为 \[ \psi_m=z^{m-1}e^{-|z|^2/4l_B^2},\quad m=1,\cdots,N \] 带回并提出共有的项, 剩下的正是Vandermonde行列式, 可以得到\(\prod_{i<j}(z_i-z_j)\)的形式.

等离子体类比

写出Laughlin波函数后, 物理量的计算仍然非常困难. 对于物理量\(\mathcal{O}(z)\)的期望, 计算公式为: \[ \langle \mathcal{O}\rangle=\frac{\int\prod_{i}\text{d}^2z_i\mathcal{O}(z) P[z_i] }{\int\prod_{i}\text{d}^2z_i P[z_i]}, \] 其中, \(P[z_i]\)为Laughlin波函数对应的概率: \[ P[z_i]=\prod_{i<j}\frac{|z_i-z_j|^{2m}}{l_B^{2m}}e^{-\sum|z_i|^2/2l_B^2}. \] 我们发现, 这与经典统计力学的计算非常相似. \(P[z_i]\)是某种分布, 而 \[ Z=\int\prod_{i}\text{d}^2zP[z_i] \] 正是这一计算的配分函数. 这样我们可以引入一种等效的统计体系来描述. 利用平衡态的Boltzmann分布, 我们容易给出类比的势能: \[ \beta U(z_i)=-2m\sum_{i<j}\ln \frac{|z_i-z_j|}{l_B}+\frac{1}{2l_B^2}\sum_{i=1}^N|z_i|^2. \]

等离子体:

我们考虑的静电学, 点电荷产生的势能为: \[ \phi=-q\ln \frac{r}{l_B}, \] 这样相互作用能为 \[ U_{ij}=-q_iq_j\ln \frac{|z_i-z_j|}{l_B}. \] 而对于均匀带电的背景, 电势满足Poisson方程: \[ -\nabla^2\left(\frac{1}{4l_B^2} |w|^2\right)=-\frac{1}{l_B^2}. \]

通过对比我们发现, 如果取\(\beta=2/m\), 能量可以写成: \[ U=-m^2\sum_{i<j}\ln \frac{|z_i-z_j|}{l_B}+\frac{m}{4l_B^2}|z_i|^2, \] 这正是\(N\)个带电量为\(m\)的电荷处在均匀电荷密度\(\rho=-1/2\pi l_B^2\)背景下的总能量. 依靠我们对等离子体的了解, 系统应该趋向电中性. 此时的电子数密度为: \[ n=\frac{1}{2\pi l_B^2m}=\frac{eB}{2\pi\hbar }\frac{1}{m}. \] 而这正是填充\(1/m\)个第一Landau能级的电子数密度.

这里David Tong原书中有一段比较奇怪的argument: 根据\(\beta=1/k_BT\), 系统的等效温度与\(m\)成正比. 书中说温度较高时等离子体的行为类似于液体, 温度较低时则近似为固体. 而又提到数值计算表明\(m>\sim 70\)时等离子体大概为固体, 反而在\(m=3，5\)这样较低的数时体现为液体.

尽管Laughlin波函数不是真实问题的基态, 我们可以找到对应的Hamiltonian来体现问题的一些物理特征. 首先考虑二体问题: 我们以总角动量的量子数\(M\)以及相对角动量的量子数\(m\)来标记: \[ |M,m\rangle\sim (z_1+z_2)^M(z_1-z_2)^me^{-(|z_1|^2+|z_2|^2 )/4l_B^2}, \] 这样, 对应势能\(V\)的本征值为 \[ V_m=\frac{\langle M,m|V|M,m\rangle}{\langle M,m|M,m\rangle}, \] 这样的势能称为Haldane赝势(Haldane pseudopotentials). 由此, 系统的Hamiltonian可以写成: \[ H=\sum_{m}V_mP_m, \] 其中\(P_m\)是将态矢量投影到相对角动量为\(m\)的态的投影算符. \(V_m\)可以任取, 不过我们希望\(V_m\)能尽可能的体现Coulomb势的特点, 可以取 \[ V_m=\begin{cases} 1\quad m<m_0;\\ 0\quad m>m_0. \end{cases} \] 即电子相对角动量较小(距离较近)时会有一个相互作用能. 对于多粒子体系, 我们只需要进入新的投影算符\(\mathcal{P}_{m}(ij)\), 即投影到\(i,j\)两个粒子具有相对角动量\(m\)的态: \[ H=\sum_m\sum_{i<j}P_m(ij). \] 此时我们仍能构造许多Laughlin波函数以外的基态. 但注意到Laughlin波函数在\(|z_i|\)较大时会趋于零, 换言之就是角动量比较大的时候. 这样, Hamiltonian中应该还会多一个penalty term, 简单起见就是与角动量成正比: \[ H=\sum_{m<m_0}\sum_{i<j}P_m(ij)+\omega J. \] 其中\(J\)是总角动量. 这样, 得到Laughlin波函数确实属于基态, 能量为\(E=\frac{1}{2}mN(N-1)\omega\). 而这种Laughlin波函数是电子最致密的态的特点, 正是量子Hall液体的不可压缩性(incompressibility). 这个特点与能谱上的间隙有关.

谐振子的代数.

考虑算符\(a,a^\dagger\)满足\([a,a^\dagger]=1\). 则本征值为整数, 对应的本征态为\(|n\rangle\). 满足: \[ |n\rangle=\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle. \] 在谐振子的代数上可以定义平移算符. 对复数\(\alpha\), 平移算符 \[ D(\alpha)=e^{\alpha a^\dagger-\alpha ^* a}=e^{-|\alpha|^2/2}e^{\alpha a^\dagger}e^{-\alpha^* a}. \] 满足性质\(D^\dagger (\alpha)=D(-\alpha)=D^{-1}(\alpha)\). 对升降算符作用为 \[ D^\dagger (\alpha )aD(\alpha)=a+\alpha, \quad D^\dagger (\alpha)a^\dagger D(\alpha)=a^\dagger +a^*. \] 平移算符在\(|n\rangle\)表象下的矩阵元为: \[ \langle n|D(\alpha)|n'\rangle = e^{-|\alpha|^2/2} \langle n|e^{\alpha a^\dagger}e^{-\alpha^* a}|n'\rangle\\ =e^{-|\alpha|^2/2}\left(\sum_{k} \frac{\alpha^k}{k!}((a^\dagger )^k |n\rangle )^\dagger \right)\left(\sum_{l} \frac{(-\alpha^*)^k}{k!}(a )^l |n'\rangle \right) =e^{-|\alpha|^2/2}\alpha^{\Delta n}\sqrt{\frac{n!}{n'!}}\text{L}_n^{\Delta n}(|\alpha|^2). \] 其中\(\text{L}_n^{\Delta n}(x)\)为广义Laguerre多项式. 其中\(\Delta n =n'-n>0\). 对于\(m'<m\)的情况可以取复共轭并利用\(D^\dagger(\alpha) =D(-\alpha)\)得到.

更一般地, 两体相互作用Hamiltonian为(\(l_B=1\)): \[ H=\sum_{i<j}V(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|)=\sum_{i<j}\int \frac{\text{d}^2\mathbf{q}}{(2\pi)^2}V_{\mathbf{q}}^{\text{bare}}e^{i\mathbf{q}\cdot(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)} \] 电子的坐标可以分解为\(\mathbf{R}+\mathbf{\eta}\), 其中\(\mathbf{R}\)为回旋中心坐标, 满足: \[ [R_i^{a},R_j^b]=-i\epsilon^{ab}\delta_{ij},\;[\mathbf{q}\cdot\mathbf{R},\mathbf{q}\cdot\mathbf{\eta}]=\sum_{i,j}q_iq_j[R^i,\eta^j]=0. \] 因此指数上可以拆解为\(e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}}e^{i\mathbf{q}\cdot\eta}\). 在投影到LLL后, \[ e^{i\mathbf{q}\cdot\eta}\to \exp(-\frac{1}{4}q^2 ), \] 这样就可以得到两体相互作用Hamiltonian: \[ H=\frac{1}{2}\int \frac{\text{d}^2\mathbf{q}}{(2\pi)^2}V_{\mathbf{q}}\left[\bar{\rho}(\mathbf{q})\bar{\rho}(-\mathbf{q})-N\right]. \] 其中\(\bar{\rho}(\mathbf{q})=\sum_i e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}_i}\)为旋转中心的密度算符. 而 \[ V_{\mathbf{q}}= V_{\mathbf{q}}^{\text{bare}}|F(\mathbf{q})|^2, \] \(F(\mathbf{q})=e^{-1/4 |\mathbf{q}|^2l_B^2}\)为形状因子. 我们已经知道, 对于二体系统, 相对角动量为\(m\)的本征态构成了张成了LLL的Hilbert空间, 我们计算相互作用的矩阵元. 考虑两体密度算符 \[ (\bar{\rho}(q)\bar{\rho}(-q)-2)=e^{iq\cdot (R_1-R_2)}+e^{-iq\cdot(R_1-R_2)}, \] 引入复动量\(q =\frac{1}{\sqrt{2}}(q_x+iq_y)\)和升降算符\(a^{(\dagger)}=\frac{1}{\sqrt{2}}(R_x\pm iR_y)\), 有 \[ q\cdot R=q^*a+qa^\dagger. \] 有着与平移算符类似的形式. 这提示我们将密度算符凑成平移算符的形式. 引入两体对称与反对称的升降算符: \[ a=\frac{a_1+a_2}{\sqrt{2}},\quad b=\frac{a_1-a_2}{\sqrt{2}}, \] \(a,b\)均满足升降算符的代数. 这样: \[ q\cdot (R_1-R_2)=\sqrt{2}(q^*b +qb^\dagger). \] 得到 \[ e^{iq\cdot (R_1-R_2)}=\exp(i\sqrt{2}(q^*b+qb^\dagger) )=D(i\sqrt{2}q), \] 根据之前得到的平移算符矩阵元, 定义\(\Delta m=m'-m\ge0\): \[ \langle m|e^{iq\cdot (R_1-R_2)}|m'\rangle=\sqrt{\frac{m!}{m'!}}(i\sqrt{2}q)^{\Delta m}e^{-|q|^2 }\text{L}_m^{\Delta m }(2|q|^2). \] 一般来讲\(V_{-\mathbf{q}}=V_{\mathbf{q}}\), 因此实际的矩阵元可以等效为: \[ \langle m|(\bar{\rho}(q)\bar{\rho}(-q)-2)|m'\rangle=2\sqrt{\frac{m!}{m'!}}(i\sqrt{2}q)^{\Delta m}e^{-|q|^2 }\text{L}_m^{\Delta m }(2|q|^2). \] 若\(V_{\mathbf{q}}\)具有旋转不变性, Hamiltonian是对角的, 因此 \[ V_{|q|}=\sum_{m=0}^{\infty}c_{m}V_m(|q|),\quad V_m(|q|)=e^{-\frac{1}{2}|q|^2 }\text{L}_m(|q|^2) \] 此时\(|q|^2=q_x^2+q_y^2\). 这正是Haldane赝势.

这一计算可以扩展到非各向同性的系统, 此时Hamiltonian非对角. 我们可以定义如下一组基: \[ V_{m,n}^+(q)\sim e^{-\frac{1}{2} |q|^2 }\text{L}_m^{n }(|q|^2)(q_x+iq_y)^n+\text{c.c.}\\ V_{m,n}^-(q)\sim i(e^{-\frac{1}{2} |q|^2 }\text{L}_m^{n }(|q|^2)(q_x+iq_y)^n-\text{c.c.})\\ \] 就可以将\(V_{\mathbf{q}}\)在这组基下展开. 在具体系统的计算(FCI, FQH液晶态)应用可以参照: 10.1103/PhysRevLett.118.146403. Generalized Pseudopotentials for the Anisotropic Fractional Quantum Hall Effect.

准空穴(Quasi-Holes)和准粒子(Quasi-Particles)

量子Hall系统的激发态用准粒子和准空穴的描述.

准空穴

用于描述一个位于\(\eta\)的空穴的波函数是: \[ \psi_{\text{hole}}\sim \prod_{i=1}^N(z_i-\eta)\prod_{k<l}(z_k-z_l)^me^{-\sum_{i=1}^n|z_i|^2/4l_B^2}, \] 可以看到电子密度在\(\eta\)处为零. 进一步地, \(M\)个空穴对应的波函数为: \[ \psi_{\text{hole}}\sim \prod_{j=1}^M \prod_{i=1}^N(z_i-\eta_j)\prod_{k<l}(z_k-z_l)^me^{-\sum_{i=1}^n|z_i|^2/4l_B^2}. \] 这些准空穴的带电量是元电荷的分数倍: \(e^*=+e/m\). 为了解释这一点, 我们考虑\(m\)个空穴位于同一位置, 此时的波函数为: \[ \psi_{\text{hole}}\sim\prod_{i=1}^N(z_i-\eta)^m\prod_{k<l}(z_k-z_l)^me^{-\sum_{i=1}^N|z_i|^2/4l_B^2}. \] 这正是加入一个位于\(\eta\)的电子的波函数. 但\(\eta\)事实上并不是一个力学量, 而只是一个参数, 因此这一波函数描述了\(\eta\)位置缺少一个电子. 因此我们可以认为所有空穴总共带电\(+e\), 进而每个准空穴的电量就是\(e/m\). 用等离子体类比也可以得到类似的结论.

准粒子

系统也可以激发准粒子, 带电\(-e/m\). 我们发现, 当波函数的多项式部分幂次升高时, 波函数的零点个数增加而动力学自由度不变, 这样就描述了电子缺陷而产生了准空穴; 相反地, 如果多项式幂次减少就可以造成相反的结果.

一个自然的减少多项式幂次的方法就是求导. 准粒子的波函数为: \[ \psi_{\text{particle}}\sim \left[\prod_{i=1}^N\left(2l_B^2\partial_{z_i}-\bar{\eta} \right)\prod_{k<l}(z_k-z_l)^m \right]e^{-\sum_{i=1}^N |z_i|^2/4l_B^2}. \] 利用准粒子的图像可以解释分数Hall电导. 我们考虑磁通从\(0\)降到\(-\Phi_0\), 系统的能谱会绝热演化. 原来系统位于的角动量\(m\)态会绝热演化到\(m-1\)态, 从而产生一个\(-e/m\)的准粒子从环内输运到环外. 这样, 当有一整个电子通过的时候, 我们需要\(m\)个磁通量子. Hall电导为: \[ \sigma_{xy}=-\frac{e/T}{\Phi/T}=-\frac{e^2}{2\pi \hbar}\frac{1}{m}. \]

分数统计

既然\(\eta\)是量子态的参数, 我们好奇这一参数空间的拓扑性质. 我们首先引入带有\(M\)个准空穴的Laughlin波函数对应的量子态: \[ \langle z,\bar{z}|\eta_{1},\cdots,\eta_{M}\rangle=\prod_{j=1}^M \prod_{i=1}^N(z_i-\eta_j)\prod_{k<l}(z_k-z_l)^me^{-\sum_{i=1}^n|z_i|^2/4l_B^2}, \] 由于Laughlin波函数本身是没有归一化的, 因此真正的量子态为: \[ |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{Z}}|\eta_1,\cdots,\eta_M\rangle. \] 其中\(Z\)就是归一化系数: \[ Z=\int\prod\text{d}^2z_i \exp(\sum_{i,j}\ln |z_i-\eta_i|^2+m\sum_{k<l}\ln |z_l-z_k|^2-\frac{1}{2l_B^2}\sum_i |z_i|^2 ). \] 对应的全纯Berry联络为: \[ A_{\eta}=-i\langle \psi|\partial_{\eta}|\psi\rangle=\frac{i}{2Z}\frac{\partial Z}{\partial \eta}-\frac{i}{Z}\langle \eta|\partial_\eta|\eta\rangle\\ =\frac{i}{2Z}\frac{\partial \langle \eta|\eta\rangle}{\partial \eta}-\frac{i}{Z}\langle \eta|\partial_\eta|\eta\rangle=-\frac{i}{2}\frac{\partial \ln Z}{\partial \eta}. \] 其中已经利用了波函数对\(\eta\)全纯, 因此\(\partial_{\eta}\langle \eta|=0\).

由于对配分函数的导数难以计算, 需要再次回到等离子体类比. 在等离子体类比中, 准空穴事实上是背景负电荷中的杂质. 而电子对杂质的响应则是屏蔽(screening): 即在杂质附近会聚集一些负电荷, 使得在远处感受不到这一杂质的影响. 在等离子体中, 杂质的势会被\(e^{-r/\lambda}\)的因子调制, 其中\(\lambda\)就是著名的Debye屏蔽长度: \[ \lambda=\sqrt{\frac{\epsilon_0k_BT}{ne^2}}, \] 这样, 对于真实存在的等离子体体系, 这些杂质事实上并不在自由能中体现. 但是, 我们的配分函数中的能量项并不全, 真实的配分函数为: \[ Z_{\text{real}}=\exp(\frac{1}{m}\sum_{i<j}\ln |\eta_{i}-\eta_{j}|^2-\frac{1}{2ml_B^2}\sum_{i}|\eta_i|^2 )Z \] 而\(Z_{\text{real}}\)则由于屏蔽效应而与\(\eta\)无关, 这样我们就计算出了\(Z\)对参数的依赖: \[ \ln Z=C-\frac{1}{m}\sum_{i<j}\ln |\eta_i-\eta_j|^2+\frac{1}{2ml_B^2}\sum_{i}|\eta_i|^2, \] 求导就得到了Berry联络: \[ A_{\eta_i}=\frac{i}{2m}\sum_{j\neq i}\frac{1}{\eta_i-\eta_j}-\frac{i\bar{\eta}_i}{4ml_B^2}. \] 接下来我们计算准空穴所带的电荷. 我们考虑\(\eta_{i}\)在空间中绕上一圈, 但不包含任何其他准空穴. 这样, 第一项积分为零, 而第二项为: \[ \gamma=-2\cdot\frac{i}{4ml_B^2} \oint_C(x-i\text{d}y)(\text{d}x+i\text{d}y) =\frac{1}{2ml_B^2}\oint( x\text{d}y-y\text{d}x)=\frac{A}{ml_B^2}=\frac{e\Phi}{m\hbar}, \] 其中\(\Phi\)是路径所包含的磁通. 而这也可以理解为一个电荷为\(e^*\)产生的AB相位, 这就得到了分数电荷: \[ e^*=\frac{e}{m}. \] 而当绕某一个空穴绕一圈时: \[ \gamma=\frac{i}{2m} \oint \frac{\text{d}\eta_1}{\eta_1-\eta_2}+\text{h.c.}=-\frac{2\pi}{m}. \] 我们发现, 这一操作实际上是将两个准空穴交换两次位置. 通常来说, 自然界的粒子分为Boson和Fermion两类. 这是认为, 在交换全同粒子时, 波函数可以差一个相位\(e^{i\pi\alpha}\). 而交换两次后波函数不变, 所以\(e^{i2\pi\alpha}=1\), 得到\(\alpha=0,1\), 分别对应Boson和Fermion.

我们可以认为交换两次后波函数不变来源于\(3+1\)维时空的拓扑性质. 当我们实在地交换粒子两次. 如果从其中某一个粒子的视角来看, 就是另一个粒子绕自己一圈后回到原点. 在\(3+1\)维时空中, 这一路径总可以连续地变化回到另一个粒子完全没有移动的情况.

但是对于\(2+1\)维时空, 这一点就有很大的不同. 我们考虑三维的世界线, 当一个粒子绕另一个粒子转圈后, 相当于两个粒子的世界线打了一个结. 在固定初末态的情况下, 这个结永远无法解开, 即回不到不打结的状态. 这样, 就没有\(e^{2i\pi\alpha}=1\)的限制, 因为系统确实在相位上发生了变化. 而对于 \[ \psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)=e^{i\pi\alpha}\psi(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1),\quad \alpha\neq 0,1 \] 的粒子, 既不是Boson也不是Fermion, 我们称之为任意子(anyon). 这种粒子特性只有在\(2\)维空间中才有可能体现.

数学上, 描述这种\(2\)维空间打结的是辫子群(braid group). 这一群将辫子通过拓扑分类, 如果能将一个辫子连续地变化为另一个辫子, 则认为这两个辫子是相同的.

辫子群的群元素可以通过一系列简单操作\(R_{1},\cdots,R_{n-1}\)生成. 其中\(R_i\)代表将\(i\)个粒子和第\(i+1\)个粒子按逆时针的顺序交换位置. 对于两个不涉及到同一个粒子的操作, 它们显然是对易的. 即 \[ R_{i}R_j=R_jR_i,\quad \text{for }|i-j|>2. \] 这些操作还满足Yang-Baxter关系(Yang-Baxter relation): \[ R_{i}R_{i+1}R_i=R_{i+1}R_{i}R_{i+1}. \] 这一点容易通过画图证明. 在量子力学中, 这一群的操作可以体现为一个作用于Hilbert空间的幺正算符, 这就构成了辫子群的一个群表示. 对\(2\)维, 交换两个粒子将产生一个相位: \(e^{i\pi\alpha_i}\). 因此这一操作实际上就是\(R_i=e^{i\pi\alpha_i}\). Yang-Baxter关系就给出了\(e^{i\pi\alpha_i}=e^{i\pi\alpha_{i+1}}\). 这一点从粒子全同性来看是显然的. 这种一维表示给出的是对易的任意子, 对于更高维的表示则对应非对易的任意子.

因此, 准空穴事实上是一种任意子, 交换相位为\(e^{i\pi/m}\).

任意子的实验探测: 2020年首次探测到\(m=3\)任意子的分数统计. 实验思路是构造一个类似于FP干涉仪的量子Hall平台. 准粒子波函数的干涉相位是: \[ \theta=e^*\frac{BA}{\hbar}, \] 这样, 干涉条纹会随着磁场周期变化. 通过测量这个周期就可以得到准粒子的分数电荷.

References: Direct observation of anyonic braiding statistics at the \(\nu=1/3\) fractional quantum Hall state. arXiv:2006.14115 (cond-mat)

基态简并度与拓扑序(Topological Oder)

我们考虑环面上的Laughlin波函数. 对于基态, 我们激发出一个准空穴和一个准粒子, 并将其中一个某个方向环绕一圈后湮灭. 这样的操作记为\(T_{1,2}\). 接下来考虑两个操作依次进行. 由于二维环面的拓扑结构, 两次操作是不对易的, 进一步地我们有: \[ T_1T_2=e^{2\pi i/m}T_2T_1. \] 而单一的基态上不能存在这样的代数. 这样可以构造一组基态: \[ T_1|n\rangle=e^{2\pi ni/m}|n\rangle,\; T_2|n\rangle\propto |n+1\rangle, \] 发现\(T_2\)的作用类似于升降算符. 而\(n,n+m\)对应同一态, 这就得到了基态的简并度为\(m\). 更一般地, 对\(g\)类Riemann曲面, 基态的简并度为\(m^g\).

也就是说, Laughlin态的基态简并度与系统的拓扑性质有关. 这是量子Hall流体的特性: 这一态不能通过某些对称性来描述, 而通过拓扑序描述. 文小刚老师认为这是一种新的物态.

其他分数填充态

层级理论

当磁场偏离电子填充\(\nu=1/m\)的最低Landau能级后, 电子将脱离Laughlin态而变为Laughlin态的激发态. 根据之前的讨论, Laughlin态的激发态可以用准粒子和准空穴来描述.

如果磁场只是稍稍偏移平台中心, 激发态的准粒子或者准空穴密度很低, 因此会形成Wigner晶体. 而Wigner晶体是一种绝缘体, 不会在导电性上产生影响, 这就解释了磁场值附近的平台.

而对于更多的准粒子或准空穴激发, 需要Laughlin波函数在\(\eta_{i}\)绕\(\eta_j\)逆时针旋转一圈后相位相差\(e^{-2\pi i\alpha}\), 因此, \(\eta_i-\eta_j\)的指数为\(2p-\alpha\), 其中\(p\)为某个整数. 而\(2\)的系数是要求转半圈后相位差为\(e^{-i\pi\alpha}\). 则准激发的最大幂次为: \[ P=\sum_{j=2}^N(2p-\alpha)=(N-1)(2p-\alpha), \] 准粒子的最可几半径为: \[ R_{\max}\approx \sqrt{2N(2p\pm1/m)ml_B^2 }, \] 对于准激发, 需要\(m\)个准粒子才能填满一个Landau能级, 所以对应的简并度为\(mAB/\Phi_0\), 则填充分数为: \[ \mp \nu_{\text{quasi}}\cdot \frac{m \cdot 2\pi \cdot 2N(2p\pm1/m)ml_B^2 }{\Phi_0}=N\\ \Rightarrow \nu_{\text{quasi}}=\mp \frac{1}{2pm^2\pm m}. \] 相应地, 总的贡献Hall电导的填充分数为: \[ \nu=\frac{1}{m}\mp \frac{1}{2pm^2\pm m}=\frac{1}{m\pm\frac{1}{2p}}. \] 这样, 相当于\(1/m\)下一层的分数Hall电导是由\(1/m\)的基态激发而来. 而准空穴或准粒子将形成新的基态, 又会产生新的激发, 依次类推下去, 填充分数可能的取值为: \[ \nu=\frac{1}{m\pm \dfrac{1}{2p_1\pm \dfrac{1}{2p_2\pm\cdots}}}, \] 这些填充分数都可以在实验上被探测到.

复合费米子(Composite Fermions)

在之前几节已经看到, 当对于强关联量子系统, 正确的用于描述系统的自由度可能并不是我们最开始使用的那些, 例如说每个电子的位置. 当单体之间存在强相互作用时, 这些新的自由度会涌现. 比如前几节的准粒子就是用于描述系统的新的自由度.

除去准激发外, 另一个用于可以用于描述强关联量子Hall液体的自由度是复合费米子(composite Fermions). 这一自由度从另一个视角来看Laughlin基态的激发所需要的参数\(\eta\). 存在一个准空穴的Laughlin波函数存在因子: \[ \prod_{i}(z_i-\eta), \] 这可以视作一个涡旋(vortex). 当电子绕\(\eta\)转一圈时, 波函数的相位会产生\(2\pi\)的变化. 可以发现, 准空穴的很多结论都来自于这一涡旋的本质. 进而考虑Laughlin波函数本身: \[ \psi\propto \prod_{i<j}(z_i-z_j)^m, \] 其中, \(z_i-z_j\)的一个因子来自于Pauli不相容原理的要求, 而剩下的\(m-1\)的指数则体现了Laughlin波函数的特殊性. 根据之前对涡旋的讨论, 我们发现\(m-1\)项可以视为\(m\)个涡旋. 这样, \(z_j\)处的粒子我们可以视作一个电子和\(m-1\)个涡旋组成的一个粒子, 这个粒子被称为复合费米子.

我们考虑将数密度\(n=\nu B/\Phi_0\)的电子放入磁场, 当我们移动一个复合费米子绕面积\(A\)一圈后, 将产生相位: \[ \gamma=-2\pi \left(\frac{AB}{\Phi_0}-(m-1)nA\right), \] 其中第一项就是正常的AB相位, 而第二项则是电子绕着\(nA\cdot (m-1)\)个涡旋产生的相位. 复合费米子理论对这个相位的解释是, 复合费米子感受到的磁场不是\(B\), 而是一个等效的磁场\(B^*\), 满足: \[ B^*=B-(m-1)n\Phi_0, \] 每个复合费米子都包含一个电子, 因此复合费米子的数密度与电子一致, 都是\(n\). 这样, 在等效磁场下, 填充分数为: \[ \nu^*=\frac{n}{B^*/\Phi_0}=\frac{\nu}{1-(m-1)\nu}\Rightarrow \nu=\frac{\nu^*}{1+(m-1)\nu^*}. \] 我们考虑复合费米子完全填充了它们所感受到的最低Landau能级, 此时\(\nu^*=1,\nu=1/m\). 也就是说, 分数量子Hall效应就是复合费米子的整数量子Hall效应. 对于\(B^*<0\)的情况, 我们需要修改密度为: \[ n=-\frac{\nu^* B^*}{\Phi_0}, \] 得到这种情况下的填充分数: \[ \nu=\frac{\nu^*}{(m-1)\nu^*-1}. \] 我们观察\(\nu^*=1\)的波函数: \[ \psi\sim \prod_{i<j}(z_i-z_j)^{m-1}\prod_{k<l}(z_k-z_l), \] 其中, 第一项的操作是将\(m-1\)个涡旋放到电子的位置, 而第二项是填满最低Landau能级的波函数. 通过这个形式, 我们可以猜测推广的, 即复合费米子填充\(\nu^*\in \Z\)个Landau能级的波函数为: \[ \psi\sim \mathcal{P}_{LLL}\left[\prod_{i<j}(z_i-z_j)^{m-1}\psi_{\nu^*}(z,\bar{z}) \right], \] 其中\(\psi_{\nu^*}\)为\(\nu^*\)个Landau能级被填满的无电子相互作用的波函数. 被称为Jain态(Jain state)但是这个波函数存在一个问题. 这样一个波函数并不是多个电子位于最低Landau能级的波函数. 因此需要\(\mathcal{P}_{LLL}\)这个操作, 即将后面这个波函数"投影"到最低Landau能级波函数上. 具体来说, 最低Landau能级波函数是\(z\)的全纯函数, 而更高能级的波函数带有对\(\bar{z}\)的依赖, 所以需要想办法将\(\bar{z}\)去掉. 这样的操作是先在函数形式中将\(z_i^*\)都移到最左侧, 然后进行替换: \[ \bar{z}_i\to 2l_B^2\frac{\partial }{\partial z_i}. \] 这一操作的原因是, 我们可以在LLL这一子空间(\(l_B=1\))上定义升降算符: \[ a^\dagger =z,\quad a=\sqrt{2}\frac{\partial }{\partial z}. \] 而定义在复空间上的内积有: \[ (f,\bar{z}/\sqrt{2}g)=(z/\sqrt{2} f,g)=(a^\dagger f,g)=(f,ag), \] 对比发现: \[ \frac{\bar{z}}{\sqrt{2}}\leftrightarrow \sqrt{2}\frac{\partial }{\partial z_i}, \] 做量纲还原就得到所期待的替换.

更为严格的数学证明参照: Prange and Girvin, “The Quantum Hall Effect”. Appendix A.

复合费米子的图像可以很好地解释实验平台, 同时也能解释为什么在\(\nu=1/2\)附近观测不到任何平台. 我们考虑\(\nu=1/2\)的情况, 此时, 对\(m=3\) \[ n=\frac{B}{2\Phi_0}\Rightarrow B^*=B-2n\Phi_0=0, \] 即复合费米子感受不到磁场, 因此也没有量子Hall效应.

考虑电子自旋

如果仅考虑电子自旋和磁场的作用, 只需要考虑到Zeeman效应即可, 而电子之间的Coulomb相互作用与自旋无关, 因此基态波函数为: \[ \psi(z,w)\sim \prod_{i<j}^{N\uparrow}(z_i-z_j)^{m_{\uparrow}}\prod_{i<j}^{N\downarrow}(w_i-w_j)^{m_{\downarrow}},\quad \nu=\frac{1}{m_{\uparrow}}+\frac{1}{m_{\downarrow}}. \] 这里我们将自旋向上和向下的电子视为两种粒子, 他们之间不存在相互作用. 但这一波函数不会引入新的物理. 电子自旋磁矩间会有相互作用. 仿照Laughlin的做法, Halperin也将考虑自旋相互作用的波函数写出 \[ \psi=\prod_{i<j}^{N\uparrow}(z_i-z_j)^{m_{\uparrow}}\prod_{i<j}^{N\downarrow}(w_i-w_j)^{m_{\downarrow}}\prod_{i,k}(z_i-w_k)^n. \] 这被称为电子的Halperin态(Halperin state). 以上我们均假设电子处于\(|\uparrow\rangle,|\downarrow\rangle\)中的某一态. 此时, 重复之前的用面积计算填充分数的操作: \[ A^{\uparrow}=2\pi l_B^2(m_\uparrow N^\uparrow+nN_\downarrow),\; A^{\uparrow}=2\pi l_B^2(m_\downarrow N^\downarrow+nN_\uparrow) \] 就可以得到各自的填充分数. 特别地, 当两种粒子生活在一个空间, 有\(A^\uparrow=A^\downarrow\), 就可以解出\(N^\uparrow,N^\downarrow\), 带回得到: \[ \nu^\uparrow=\frac{N^\uparrow}{m_\uparrow N^\uparrow+nN^\downarrow}=\frac{m_\downarrow-n}{m_\downarrow m_\uparrow-n^2 },\\ \nu=\nu^\uparrow+\nu^\downarrow=\frac{m_\downarrow+m_\uparrow-2n}{m_\downarrow m_\uparrow-n^2}. \] 特别地, 对\(m_\uparrow =m_\downarrow=m\), 有 \[ \nu=\frac{2}{m+n}. \] 对\(m=3,n=1\), 我们发现这是\(\nu=1/2\)的分数量子Hall效应, 这在不考虑自旋的情况下是不会发生量子Hall效应的. 但是考虑自旋就有不同的结果, 这一点在双层材料上被发现.

真正的携带自旋信息的波函数(\((m,m,n)\), 纠缠态\(N^\uparrow=N^\downarrow=N/2\)): \[ \psi\sim\mathcal{A}\left[\prod_{i<j}^N(z_i-z_j)^n\prod_{1<i<j<N/2}^N(z_i-z_j)^{m-n}\prod_{N/2+1<k<l<N}^N(z_k-z_l)^{m-n}|\uparrow\cdots\downarrow\rangle \right] \] 其中\(\mathcal{A}\)代表反对称化. 考虑电子自旋的Hall效应还有很多有趣的物理, 例如说量子Hall铁磁体(quantum Hall ferromagnetism).