前置知识
正交变换是一种在有内积结构线性空间上的特殊的线性映射. 这里我们只讨论正交算子. 它满足: \[ \forall \vec{x}\in V, \langle A\vec{x},A\vec{x}\rangle =\langle \vec{x},\vec{x}\rangle \]
通过定义, 我们可以导出正交算子矩阵表达的一些性质:
保内积: \[ \forall \vec{x},\vec{y}\in V,\quad \langle A\vec{x}, A\vec{y}\rangle=\langle\vec{x},\vec{y}\rangle \]
正交矩阵的列向量构成\(\R^n\)空间的一组标准基.
\(A^T=A^{-1}\).
特别地, 对于三维线性空间上的正交矩阵, 构成\(O(3)\) 群. 群元一共有两种, 一种是\(\det A=1\), 另一种是\(\det A=-1\). 分别对应旋转, 旋转和反射的复合. 对\(\det A=1\) 的情况, 容易验证这些矩阵构成\(O(3)\)的一个子群\(SO(3)\). 但相反, 第二种变换则不构成群, 考虑\(\det A=-1,\det B=-1\), \(\det AB=1\), 也就是这个集合对乘法不封闭, 因此不构成群.
问题的提出和解决
问题
对于\(3\)阶正交方阵, 给定两个范数相同的向量\(\vec{\alpha}\)和\(\vec{\beta}\), 求所有满足 \[ A\vec{\alpha}=\vec{\beta} \] 的正交方阵.
问题分析
首先分析任意一个正交变换的自由度\(f\). 对于\(3\times3\)矩阵, 共有\(9\)个矩阵元. \[ A=\begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{bmatrix} \] 根据之前给出的性质, 列向量构成一组正交标准基, 这给出如下约束: \[ \begin{aligned} a^2+d^2+g^2&=1\\ b^2+e^2+h^2&=1\\ c^2+f^2+i^2&=1\\ ab+de+gh&=0 \\ ac+df+gi&=0\\ bc+ef+hi&=0 \end{aligned} \] 共六个. 所以一个任意正交变换的自由度为 \[ f=6-3=3 \] 换言之, 我们需要三个独立变量确定一个正交变换. 但需要注意的是, 我们仍然需要根据行列式的正负对其进行分类. 例如一个二维正交变换可以由\(\theta\)确定: \[ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \] 但仍然还有另外一种\(\det A=-1\)的由\(\theta\)确定的二维正交变换: \[ \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{bmatrix} \] 这背后的原因是约束方程可以由多个解.
接下来考虑\(A\vec{\alpha}=\vec{\beta}\)给出了多少新的约束. 这是一个矢量等式, 可以给出三个方程作为新的约束. 但是这三个方程中是包含\(\|\vec{\alpha}\|=\|\vec{\beta}\|\)的信息的, 但这样的信息也包含在正交方阵自己满足的约束中. 因此这三个新的约束和原来的约束不完全独立. 我们不妨这样考虑一个矢量等式, 即范数相等和两个方向角满足的方程. 也就是三个方程中的一个是前述“包含范数相等信息”的. 也就是说问题的条件给出了两个新的约束. 这样, 所求的矩阵的自由度 \[ f'=f-s=3-2=1 \] 即只用一个独立参量就可以描述所有的满足条件的正交矩阵.
构造所求正交方阵的方式由许多种, 但只要根据之前导出的自由度, 我们只要找出一种有一个自由度的构造, 就找出了所有满足条件的矩阵. 不同参量\(t,t'\)间只差一个变换函数: \[ t'=f(t) \]
问题的解答
根据上述分析, 我们只需要找出一种构造即可. 注意到存在一种反射可以将\(\vec{\alpha}\)映射到\(\vec{\beta}\). 考虑向量 \[ \vec{u}=\vec{\alpha}-\vec{\beta} \] 反射: \[ R_{\vec{u}}\vec{x}=\vec{x}-2\frac{\langle\vec{x},\vec{u} \rangle}{\langle\vec{u},\vec{u}\rangle}\vec{u}\\ \mbox{或者更具体的，}R_{\vec{u}}=I-2\frac{\vec{u}\vec{u}^T}{\langle\vec{u},\vec{u}\rangle} \] 代入得到 \[ R_{\vec{u}}\vec{\alpha}=\vec{\alpha}-2\frac{\langle\vec{\alpha},\vec{\alpha}-\vec{\beta}\rangle}{\langle\vec{\alpha}-\vec{\beta},\vec{\alpha}-\vec{\beta}\rangle}\vec{\alpha}-\vec{\beta}=\vec{\beta} \] 在此基础之上, 我们在复合一个绕\(\vec{\beta}\)旋转\(\theta\)角的旋转, 就构造出\(\det A=-1\)的正交变换. 对于绕\(\vec{\beta}\)的旋转. 利用绕任意轴的旋转矩阵公式可以得到.